Chương I – bài 4: Sự lồi – lõm và điểm uốn của đồ thị

I. Khái niệm về cung lõm – cung lồi của đồ thị hàm số:

Cho hàm số y= f(x) , với mọi x thuộc (a,b)
Giải sử đồ thị (C) của hàm số y = f(x) là 1 đường cong có tiếp tuyến tại mọi điểm.

* (C) là đường cong lồi trên (a,b) nếu (C) nằm dưới mọi tiếp tuyến của (C).
* (C) là đường cong lõm trên (a,b) nếu (C) nằm trên mọi tiếp tuyến của (C).
* I được gọi là “điểm uốn” của (C) nếu I là điểm ngăn cách giữa cung lồi và cung lõm liên tiếp.

II. Dấu hiệu nhận biết cung lồi – cung lõm của đồ thị

1. Dấu hiệu 1: Cho hàm y =f(x) có đạo hàm cấp 2 trên (a,b)

*Nếu f”(x) > 0 với mọi x trong (a,b) thì đồ thị hàm số là “đường cong lõm” trên (a,b).
*Nếu f”(x) < 0 với mọi x trong (a,b) thì đồ thị hàm số là “đường cong lồi” trên (a,b).

2. Dấu hiệu 2:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 2 trong lân cận của điểm x_o, nếu f”(x) đổi dấu khi x đi qua x_o thì x_o là hoành độ của điểm uốn của đồ thị hàm số.

*Lưu ý: Kết luận của dấu hiệu 2 vẫn còn đúng nếu hàm số không có đạo hàm cấp 2 tại x_o nhưng đồ thị hàm số vẫn có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là x_o

*Ví dụ:Tìm các khoảng lồi – lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số :

y = 2x³ – 6x² + 2x – 2 (C)

Giải:

D = R
y’ = 6x² – 12x + 2
y” = 12x – 12 => y” = 0 khi x = 1

vậy (C) lồi trong (-∞ ,1) và lõm trong (1,+ ∞)
I (1, -4) là điểm uốn

**Bài tập rèn luyện >>